Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x³+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=（　　）

• A、0
• B、2014
• C、4028
• D、4031

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=x³+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=2，再利用倒序相加，即可得到结论

解答： 解：∵f（x）=x³+sinx+1，∴f′（x）=3x²-cosx，f''（x）=6x+sinx
又∵f''（0）=0
而f（x）+f（-x）=x³+sinx+1+-x³-sinx+1=2，
函数f（x）=x³+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），
即x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=2，
∴f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）
=2×2015+f（0）
=4030+1
=4031．
故选：D．

点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x₁+x₂=0时，总有f（x₁）+f（x₂）=2，是解题的关键．