Question

y=log_a（x+5）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由对数函数可知A（-4，-1），进而可得4m+n=1，可得

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）（4m+n）=8+

n

m

+

16m

n

，由基本不等式可得．

解答： 解：∵y=log_a（x+5）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，∴A（-4，-1），
又点A在直线mx+ny+1=0上，∴-4m-n+1=0，即4m+n=1，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）（4m+n）=8+

n

m

+

16m

n

≥8+2

n m • 16m n

=16，
当且仅当

n

m

=

16m

n

，即m=

1

8

，n=

1

2

时取等号，
故答案为：16．

点评：本题考查基本不等式，涉及对数函数图象恒过定点问题，属基础题．