Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a，b，c，设向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2），

m

⊥

p

．
（1）若边长c=2，角C=

π

3

，求△ABC的面积；
（2）若

m

∥

n

，求边a，b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：解三角形

分析：（1）由

m

⊥

p

可得ab的式子，结合余弦定理可得ab得方程，解方程代入面积公式可得；
（2）由

m

∥

n

和正弦定理可得a=b，联合ab=a+b可解得a，b的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（a，b），

p

=（b-2，a-2），且

m

⊥

p

．
∴a（b-2）+b（a-2）=0，即a+b=ab，
由余弦定理可得2²=a²+b²-2abcos

π

3

，
代入数据化简可得4=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，解得ab=4，或ab=-1（舍去），
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

（2）∵

m

∥

n

，∴asinA=bsinB，
由正弦定理可得a=b，即△ABC为等腰三角形，
结合ab=a+b可得a=b=2

点评：本题考查解三角形，设计正余弦定理和向量的平行与垂直，属中档题．