Question

已知函数f（x）=x，g（x）=x²-a，若同时满足两个条件：①函数F（x）=f（x）•g（x）（x∈R）有极值点；②函数H（x）=

f(x)

g(x)

在（2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[4，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[-4，0）
• D、（0，4]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：分别求出函数F（x），H（x）的导数．利用函数极值和函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：F（x）=f（x）•g（x）=x（x²-a）=x³-ax，
若函数F（x）=f（x）•g（x）（x∈R）有极值点，
则F′（x）=3x²-a=0有两个不同的解，即△=0+4×3a=12a＞0，即a＞0．
函数H（x）=

f(x)

g(x)

=

x

x2-a

在（2，+∞）上为减函数，
则H′（x）=

-x2-a

(x2-a)2

≤0在（2，+∞）上恒成立，
即a≥-x²，∵-x²＜-4，
∴a≥-4，
综上a＞0，
故选：B．

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．