Question

如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：ED⊥BC；
（Ⅱ）记CD=x，当三棱锥F-ABD的体积V（x）取得最大值时，求直线EB与平面DBF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明ED⊥平面ABCD，即可证明ED⊥BC；
（Ⅱ）求出三棱锥F-ABD的体积V（x），利用基本不等式求最值，再建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得直线EB与平面DBF所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在正方形ADEF中，有ED⊥AD．
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴ED⊥BC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ED⊥平面ABCD，
∵ED∥AF，
∴AF⊥平面ABCD，
在平行四边形ABCD中，CD⊥DB，BC=2，CD=x，
∴DB=

4-x2

，
∴S_△ABD=

1

2

•x•

4-x2

，
∵FA=2，
∴V_F-ABD=

1

3

x•

4-x2

≤

1

3

( x2+4-x2 2 )2

=

2

3

，
当且仅当x=

4-x2

，即x=

2

，即CD=

2

时，V_F-ABD的最大值为

2

3

．
建立如图所示的坐标系，则E（0，0，2），B（0，

2

，0），F（-

2

，

2

，2），则

EB

=（0，

2

，-2），

DB

=（0，

2

，0），

DF

=（-

2

，

2

，2），
设平面DBF的法向量为

n

=（x，y，z），则

2 y=0 - 2 x+ 2 y+2z=0

，
令x=

2

，则

n

=（

2

，0，1），则
设直线EB与平面DBF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜

n

，

EB

＞|=|

-2

3 × 6

|=

2

3

．

点评：本题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直的判定及简单组合体体积的计算，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．