Question

6．已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当x＜0时f（x）＞0．
（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）若f（-$\frac{1}{2}$）=1，试解不等式2f（x）＜-1．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可求f（0）的值，令y=-x，结合函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，进而根据f（x）-f（y）=f（x）-f（y）及当x＜0时，f（x）＞0，结合函数单调性的定义得到其单调性．
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）是奇函数
∵f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
∴令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
函数f（x）是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$）
当-1＜x＜y＜1时，$\frac{x-y}{1-xy}$＜0，
由条件知f（$\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（2）∵f（-$\frac{1}{2}$）=1
∴f（$\frac{1}{2}$）=-1，
则2f（x）＜-1．等价为2f（x）＜f（-$\frac{1}{2}$）．
即f（x）+f（x）=f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）＜f（$\frac{1}{2}$），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
∴x²-4x+1＜0
解得2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
又∵x∈（-1，1）
∴2-$\sqrt{3}$＜x＜1，
即不等式的解集为（2-$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，及对数函数的图象和性质，其中熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化是解答的关键．