Question

14．设双曲线方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的焦点分别为F₁，F₂，离心率为2，设A、B分别为双曲线渐近线l₁，l₂上的动点，且2|AB|=5|F₁F₂|，则线段AB的中点M的轨迹方程为（　　）

• A． 直线
• B． 圆
• C． 椭圆
• D． 双曲线

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，以及中点坐标公式，建立方程，根据A、B分别为l₁、l₂上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．

解答 解：∵e=2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+3，∴a=1，c=2，
∴双曲线方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|，
∴|AB|=$\frac{5}{2}$|F₁F₂|=$\frac{5}{2}$×2c=10，$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=10，
∵y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₂，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁-x₂），y₁-y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂），
即有x₁-x₂=$\sqrt{3}$（y₁+y₂），
可得3（2y）²+$\frac{1}{3}$（2x）²=100，
化简可得$\frac{{x}^{2}}{75}$+$\frac{3{y}^{2}}{25}$=1，对应的曲线为椭圆．
故选：C．

点评 本题考查轨迹方程的求解及轨迹的判断，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．