Question

5．在（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N₊，n≥2）的展开式中，x的系数为$\frac{15}{16}$，则x²的系数为（　　）

• A． $\frac{15}{16}$
• B． $\frac{31}{128}$
• C． $\frac{35}{128}$
• D． $\frac{31}{64}$

Answer 1

分析 在（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N₊，n≥2）的展开式中，x的系数=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{15}{16}$，解得n=4．因此（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）$（1+\frac{x}{{2}^{3}}）$$（1+\frac{x}{{2}^{4}}）$的展开式中x²的系数=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{2}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{3}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{4}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}）$，即可得出．

解答 解：在（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N₊，n≥2）的展开式中，x的系数=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{15}{16}$，解得n=4．
∴（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）$（1+\frac{x}{{2}^{3}}）$$（1+\frac{x}{{2}^{4}}）$的展开式中x²的系数为：$\frac{1}{2}×（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{2}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{3}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}）$+$\frac{1}{{2}^{4}}$×$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}）$
=$\frac{35}{64}$．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的应用、多项式的乘法运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．