Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆C过点G（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B为椭圆C的上顶点，过点B的两条直线与椭圆C分别交于M，N两点，且直线BM与BN的斜率的积为$\frac{2}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C上存在点P使得OP∥MN（O为坐标原点），求△MNP面积的最大值，并求此时直线MN的斜率．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和点G满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为y=kx+t，OP的方程为y=kx，求得P到MN的距离，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得三角形PMN的面积，化简整理由基本不等式可得最大值，求得等号成立的条件，再由直线的斜率公式，结合条件化简整理可得k的值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
椭圆C过点G（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{3{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设直线MN的方程为y=kx+t，OP的方程为y=kx，
P到直线MN的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
将直线y=kx+t代入椭圆方程，可得
（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由判别式36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
化简得1+3k²-t²＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得：
x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}{t}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12{t}^{2}-12}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{1+3{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$，
即有△MNP面积为$\frac{1}{2}$d•|MN|=$\sqrt{3}$•|t|•$\frac{\sqrt{1+3{k}^{2}-{t}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}（1+3{k}^{2}-{t}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$
≤$\sqrt{3}$•$\frac{{t}^{2}+1+3{k}^{2}-{t}^{2}}{2}$•$\frac{1}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当t²=1+3k²-t²，即1+3k²=2t²取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由直线BM与BN的斜率的积为$\frac{2}{3}$，即有$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即为2x₁x₂=3（kx₁+t-1）（kx₂+t-1），
即有（2-3k²）x₁x₂-3（t-1）²-3k（t-1）（x₁+x₂）=0，
即（2-3k²）•$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$-3（t-1）²-3k（t-1）（-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$）=0，
化简可得t²+2t-3=0，解得t=1或-3．
可得1+3k²=2或18，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$或±$\frac{\sqrt{51}}{3}$．
综上可得，△MNP面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时直线MN的斜率为±$\frac{\sqrt{3}}{3}$或±$\frac{\sqrt{51}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．