Question

2．已知全集U=R，集合A={x|x²-2ax-3a²＜0}，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}．
（1）当a=12时，求（∁_UB）∩A；
（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是P的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先得到A={x|（x-3a）（x+a）＜0}，B={x|[x-（a+2）]（x+a）＜0}，从而a=12时，可以求出A，B，然后进行补集、交集的运算即可；
（2）可根据条件得出A⊆B，这样可讨论a：分a＞0，a=0，-1＜a＜0，a=-1，以及a＜-1这几种情况，从而求出A，B，而根据A⊆B便可建立关于a的不等式，解不等式便可求出实数a的取值范围，并由题意知A，B都不是空集．

解答 解：（1）A={x|（x-3a）（x+a）＜0}，B={x|[x-（a+2）]（x+a）＜0}；
∴a=12时，A=（-12，36），B=（-12，14）；
∴∁_UB=（-∞，-12]∪[14，+∞）；
∴（∁_UB）∩A=[14，36）；
（2）根据条件知，若x∈A，则x∈B；
∴A⊆B；
①若a＞0，则A=（-a，3a），B=（-a，a+2）；
∵A⊆B；
∴3a≤a+2；
∴a≤1；
即0＜a≤1；
②若a=0，A=∅，而由x∈A知A非空，∴这种情况不存在；
③若-1＜a＜0，则A=（3a，-a），B=（-a，a+2）；
显然不满足A⊆B，即这种情况不存在；
④若a=-1，则B=∅，而B≠∅，∴这种情况不存在；
⑤若a＜-1，则A=（3a，-a），B=（a+2，-a）；
∵A⊆B；
∴3a≥a+2；
∴a≥1，不满足a＜-1，∴这种情况不存在；
综上得实数a的取值范围为（0，1]．

点评 考查一元二次不等式的解法，以及补集、交集的运算，必要条件的概念，子集的定义，而对a的讨论要全面．