Question

若数列{a_n}满足前n项之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2，
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）证明：{

bn

2n

}是等差数列
（3）求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4可求a₁=4，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4即a_n=2a_n-1，可得a_n，
（2）b_n+1=a_n+2b_n，代入a_n可证，
（3）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，考虑利用错位相减可求T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-4
∴a₁=4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4
即a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2
∴a_n=2ⁿ⁺¹，
（2）b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1
又

b1

21

=

2

2

=1
∴

bn

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（3）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得 T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=

-2(1-2n)

1-2

+n•2n+1
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是构造等差及等比数列进行求解，要注意对错位相减求解数列和的方法的掌握，这是数列求和中的重点和难点．