Question

15．已知圆C：x²+y²+2x-4y+m=0与y轴相切．
（1）求m的值；
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求该切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用圆C：x²+y²+2x-4y+m=0与y轴相切，求出m的值；
（2）求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
（3）先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+2x-4y+m=0，可化为（x+1）²+（y-2）²=5-m，所以5-m=1，
所以m=4；
（2）当切线过原点时，切线方程为x=0．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=1，所以a=1±$\sqrt{2}$，即切线方程为x+y-1±$\sqrt{2}$=0．
综上知，切线方程为x=0或x+y+1=0或x+y-1±$\sqrt{2}$=0；
（2）因为|PO|²+r²=|PC|²，所以x²+y²+1=（x+1）²+（y-2）²，即x-y+2=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线x-y+2=0时，即直线PO的方程为x+y=0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（-1，1）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．