题目内容
10．已知圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标不变得到曲线C1；以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=4\sqrt{2}$．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点 P与曲线C2上点的距离的最小值，并求此时P点的坐标．
分析 （Ⅰ）由已知可得曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，消去参数θ可得，由三角函数公式可化极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8，可得x+y=8；
（Ⅱ）由题意可得距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，由三角函数的最值可得．
解答 解：（Ⅰ）由已知可得曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
消去参数θ可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1，
∵曲线C2的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=4\sqrt{2}$，
∴ρcosθ+ρsinθ=8，即x+y=8；
（Ⅱ）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）为曲线C1上的动点，
则点P与曲线C2：x+y=8上点的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，
当sin（θ+$\frac{π}{3}$）=1即θ=$\frac{π}{6}$时，d取最小值3$\sqrt{2}$，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）
点评 本题考查参数方程和极坐标方程，涉及三角函数的最值，属基础题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
1．
如图给出的是计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{100}$的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
如图给出的是计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{100}$的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）| A． | i≥49？ | B． | i≥50？ | C． | i≥51？ | D． | i≥100？ |
5．已知$|{\vec a}|=1$，$|{\vec b}|=2$，$\vec a$与$\vec b$的夹角为$\frac{π}{3}$，那么$|{4\vec a-\vec b}|$等于（ ）
| A． | 2 | B． | 6 | C． | $2\sqrt{3}$ | D． | 12 |
20．设命题p：函数f（x）=x3在R上为增函数；命题q：函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）为奇函数，则下列命题中真命题是（ ）
| A． | p∧q | B． | p∧（￢q） | C． | （￢p）∧（￢q） | D． | （￢p）∨q |