Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-1，数列{b_n}为等差数列，且 b₁=a₁，b₆=a₅
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若C_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项 和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得数列{a_n}的通项，再由等差数列的通项公式，计算即可得到所求数列{b_n}的通项；
（2）求出C_n=a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-1，①
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
n=1得a₁=S₁=2a₁-1，即有a₁=1，
n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，可得a₂=2，
则a_n=a₂•2^n-2=2^n-1，对n=1也成立，
则a_n=2^n-1，n∈N*；
数列{b_n}为公差为d的等差数列，且 b₁=a₁，b₆=a₅，
可得b₁=1，b₆=b₁+5d=16，
可得d=3，
则b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，n∈N*；
（2）C_n=a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
T_n=1×2⁰+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1×2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=1+3×（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ，
化简可得T_n=5+（3n-5）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用递推式及等比数列、等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．