Question

20．已知函数f（x）的导函数为f′（x），e为自然对数的底数，若函数f（x）满足xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{e}$，则不等式f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e的解集是（0，e）．

Answer 1

分析 先求出函数的解析式，再令y=f（x）-x，确定函数在定义域内单调递减，即可解出不等式．

解答 解：∵xf?（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴（xf（x））?=$\frac{lnx}{x}$，
两边积分xf（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+C，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+C），
∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴f（e）=$\frac{1}{e}$（$\frac{1}{2}$+C）=$\frac{1}{e}$，
∴C=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$），
令y=f（x）-x，则y′=$\frac{{-（lnx+1）}^{2}}{{2x}^{2}}$-1＜0，
∴函数在定义域内单调递减，
∵f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e，
∴f（x）-x＞f（e）-e，
∴0＜x＜e．
故答案为：（0，e）．

点评 本题考查了解不等式与利用导数研究函数的单调性问题，解题的关键的如何确定函数的解析式．