Question

已知函数f（x）=x³+3x²-9x+1
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，c）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3x²+6x-9，f′（1）=0，c=-4，即可求出切线方程．（Ⅱ）根据导数判断出函数的单调性，求出极值，f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
可判断-3∈[k，2]，即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x³+3x²-9x+1，
∴f′（x）=3x²+6x-9，
f′（1）=0，f（1）=1+3-9+1=-4，c=-4，
∴在（1，-4）处的切线方程：y=-4；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²+6x-9=0，x=1，x=-3，
f′（x）=3x²+6x-9＞0，x＞1或x＜-3，
f′（x）=3x²+6x-9＜0，-3＜x＜1，

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

f（-3）=28，f（1）=-4，f（2）=3，
∵在区间[k，2]上的最大值为28，
∴k≤-3

点评：本题考查了导数在闭区间上的最值，判断单调性，求解切线问题，属于难题．