Question

8．设函数$f（x）=sinx•cosx-\sqrt{3}cos（{π+x}）•cosx（{x∈R}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=f（x）的图象向右、向上分别平移$\frac{π}{4}、\frac{{\sqrt{3}}}{2}$个单位长度得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在$（{0，\frac{π}{4}}]$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、诱导公式，两角和差的三角公式将f（x）化简为Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数的性质可得f（x）的最小正周期．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得y=g（x）在$（{0，\frac{π}{4}}]$的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{cos2x+1}）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由题意可得$g（x）=sin[{2（{x-\frac{π}{4}}）+\frac{π}{3}}]+\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\sqrt{3}$，
∵$0＜x≤\frac{π}{4}$，∴$-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{1}{2}＜sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴g（x）的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查二倍角公式，诱导公式，两角和差的三角公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．