题目内容
3．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2mρcosθ-4=0（其中m＞0）（1）点M的直角坐标为（2，2），且点M在曲线C内，求实数m的取值范围；
（2）若m=2，当α变化时，求直线被曲线C截得的弦长的取值范围．
分析 （1）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程，由点M在曲线C的内部，能求出实数m的取值范围．
（2）直线l的极坐标方程为θ=α，代入曲线C的极坐标方程，得ρ2-4ρcosα-4=0，设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，利用韦定理、弦长公式能求出直线l与曲线C截得的弦长的取值范围．
解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2-2mρcosθ-4=0（其中m＞0），
∴曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2-2mx-4=0，
即（x-m）2+y2=m2+4，
由点M在曲线C的内部可得（2-m）2+22＜m2+4，解得m＞1，
即实数m的取值范围是（1，+∞）．（5分）
（2）直线l的极坐标方程为θ=α，代入曲线C的极坐标方程并整理可得
ρ2-4ρcosα-4=0，
设直线l与曲线C的两个交点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=4cosα，ρ1ρ2=-4．
则直线l与曲线C截得的弦长为
|ρ1-ρ2|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{16co{s}^{2}α+16}$∈[4，4$\sqrt{2}$]，
即直线l与曲线C截得的弦长的取值范围是[4，4$\sqrt{2}$]．（10分）
点评 本题考查实数的取值的求法，考查张长的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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