Question

11．己知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{e^x}（{a≠0}）$（其中e为自然对数的底数），h（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）=$\frac{1}{2}[{f（x）+h（x）}]-\frac{1}{2}\left|{f（x）}\right.-h（x）\left|{-c{x^2}}$，．已知直线y=$\frac{x}{e}$是曲线y=f（x）的切线，且函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（i）求实数a的值；
（ii）求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）（i）根据切线方程求出a的值即可；（ii）问题转化为$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出c的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{{a{x^2}}}{e^x}（a≠0）$，
∴$f'（x）=a（2x{e^{-x}}-{x^2}{e^{-x}}）=ax（2-x）{e^{-x}}=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
①当a＞0时，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＜0，在x∈（0，2）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；
②当a＜0时，
在x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0，在x∈（0，2）时，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上是减函数；…（4分）
（Ⅱ）（i）对f（x）求导，得$f'（x）=\frac{ax（2-x）}{e^x}$，
设直线$y=\frac{x}{e}$与曲线y=f（x）切于点P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{e}=\frac{ax_0^2}{{{e^{x_0}}}}\\ \frac{1}{e}=\frac{{a{x_0}（{2-{x_0}}）}}{{{e^{x_0}}}}\end{array}\right.$解得a=x₀=1，∴a=1；             …（7分）
（ii）记函数ϕ（x）=f（x）-h（x）=$\frac{x^2}{e^x}-（x-\frac{1}{x}）$，x＞0，
求导，得$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$，
当x≥2时，ϕ'（x）＜0恒成立，
当0＜x＜2时，$x（2-x）≤{[\frac{x+（2-x）}{2}]^2}=1$，
∴$ϕ'（x）=\frac{x（2-x）}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}$$≤\frac{1}{e^x}-1-\frac{1}{x^2}＜1-1-\frac{1}{x^2}＜0$，
∴ϕ'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减．
又$ϕ（1）=\frac{1}{e}＞0$，$ϕ（2）=\frac{4}{e^2}-\frac{3}{2}＜0$，
曲线ϕ（x）=f（x）-h（x）在[1，2]上连续不间断，
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，?唯一的x₀∈（1，2），使ϕ（x₀）=0．
∴当x∈（0，x₀）时，ϕ（x）＞0，当x∈（x₀，+∞）时，ϕ（x）＜0．
∴当x＞0时，$g（x）=\frac{1}{2}[f（x）+h（x）]-\frac{1}{2}|f（x）-h（x）|-c{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}-c{x^2}，0＜x≤{x_0}\\ \frac{x^2}{e^x}-c{x^2}，x＞{x_0}\end{array}\right.$
求导，得$g'（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1}{x^2}-2cx，\;0＜x≤{x_0}\\ \frac{x（2-x）}{e^x}-2cx，\;x＞{x_0}.\end{array}\right.$
由函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且曲线y=g（x）在（0，+∞）上连续不断知：
g'（x）≥0在（0，x₀]，（x₀，+∞）上恒成立．
①当x∈（x₀，+∞）时，$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$-2cx≥0在（x₀，+∞）上恒成立，
即$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立，
记$u（x）=\frac{2-x}{e^x}$，x＞x₀，则$u'（x）=\frac{x-3}{e^x}$，x＞x₀，
当 x变化时，u'（x），u（x）变化情况列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	-	0	+
u（x）	↓	极小值	↑

∴u（x）_min=u（x）_极小值=u（3）=$-\frac{1}{e^3}$，
故“$2c≤\frac{2-x}{e^x}$在（x₀，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）_min=$-\frac{1}{e^3}$，即$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$．
②当x∈（0，x₀]时，g'（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2cx，
当c≤0时，g'（x）＞0在x∈（0，x₀]上恒成立，
综合①②知，当$c≤-\frac{1}{{2{e^3}}}$时，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故实数c的取值范围是$（-∞，\;-\frac{1}{{2{e^3}}}]$．               …（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．