题目内容

17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：吨）的影响，为此对近6年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：吨）的数据进行整理，得如下统计表：
x（万元）234.557.58
y（吨）33.53.5467
（Ⅰ）由表中数据求得线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中的$\hat b≈0.6$，试求出$\hat a$的值；
（Ⅱ）已知这种产品的年利润z（单位：万元）与x、y之间的关系为z=30y-x2，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，求年宣传费x为何值时，年利润z的预估值最大？

分析 （1）求出$\overline{x}，\overline{y}$代入回归方程得出；
（2）把回归方程代入利润公式得到z关于x的二次函数，根据二次函数的性质得出答案．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}=\frac{2+3+4.5+5+7.5+8}{6}=5$，$\overline{y}=\frac{3+3.5+3.5+4+6+7}{6}=4.5$，
∴$4.5=0.6×5+\hat a$，解得$\hat a=1.5$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\hat y=0.6x+1.5$，
∴$z=30\hat y-{x^2}=-{x^2}+18x+45$=-（x-9）2+126．
∴当x=9时，z取得最大值，
所以年宣传费为9万元时，年利润的预估值最大．

点评 本题考查了线性回归方程的特点，二次函数的最值，属于基础题．

练习册系列答案
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