Question

18．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则$\frac{3}{a}+\frac{1}{b-1}$的最小值为4+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{3}{a}+\frac{1}{b-1}$=（$\frac{3}{a}+\frac{1}{b-1}$）（a+b-1）=3+$\frac{3（b-1）}{a}$+$\frac{a}{b-1}$+1=4+$\frac{3（b-1）}{a}+\frac{a}{b-1}$$≥4+2\sqrt{3}$

解答 解：$\frac{3}{a}+\frac{1}{b-1}$=（$\frac{3}{a}+\frac{1}{b-1}$）（a+b-1）=3+$\frac{3（b-1）}{a}$+$\frac{a}{b-1}$+1=4+$\frac{3（b-1）}{a}+\frac{a}{b-1}$$≥4+2\sqrt{3}$
当$\frac{3（b-1）}{a}=\frac{a}{b-1}，即\sqrt{3}b-a=\sqrt{3}$时，取等号．
故答案为：4+2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．