Question

已知f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，x∈R）的相邻两个对称轴之间的距离为

π

2

，且满足f（x）≥f（

2π

3

）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试列表并用“五点法”画出函数y=f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]上的图象．
（3）若函数g（x）=f（

π

2

-x），求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的性质求出a，b即可求f（x）的解析式；
（2）利用“五点法”即可画出函数y=f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]上的图象．
（3）求出函数g（x）=f（

π

2

-x）的表达式，根据三角函数的单调性即可求函数y=g（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin（ωx+φ），其中tanφ=

b

a

，
则函数的周期T=

2π

ω

，
∵函数f（x）相邻两个对称轴之间的距离为

π

2

，
∴函数的周期T=2×

π

2

=

2π

ω

，
解得ω=2，
即f（x）=asin2x+bcos2x，
∵f（x）≥f（

2π

3

）=-1，
∴函数的最小值为-1，即
asin（2×

2π

3

）+bcos（2×

2π

3

）=-1，
即

3

2

a+

b

2

=1①
且-

a2+b2

=-1，即a²+b²=1 ②，
解得a=

3

2

，b=

1

2

f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）；
（2）列表并用“五点法”画出函数y=f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]上的图象．

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y=sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0

画图

（3）函数g（x）=f（

π

2

-x）=sin[2（

π

2

-x）+

π

6

]=sin（

7π

6

-2x）=-sin（

π

6

-2x）=sin（2x-

π

6

）；
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
即函数y=g（x）的单调递减区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．