Question

设全集是实数集R，A={x|2x²-7x+3≤0}，B={x|x²+a＜0}．
（1）当a=-4时，求A∩B和A∪B；∁_RA∩∁_RB
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：（1）求出A中不等式的解集，确定出A，将a=-4代入B中计算求出不等式的解集确定出B，找出A与B的交集与并集，求出A补集与B补集的交集即可；
（2）由A补集与B的交集为B，得到B为A补集的子集，即A与B的交集为空集，分B为空集与不为空集两种情况，求出a的范围即可．

解答： 解：（1）∵A={x|2x²-7x+3≤0}={x|

1

2

≤x≤3}，当a=-4时，B={x|x²-4＜0}={x|-2＜x＜2}，
∴∁_RB={x|x≤-2或x≥2}，∁_RA={x|x＜

1

2

或x＞3}，
∴A∩B={x|

1

2

≤x＜2}，A∪B={x|-2＜x≤3}，
则∁_RA∩∁_RB={x|x≤-2或x＞3}；
（2）当（∁_RA）∩B=B时，B⊆∁_RA，即A∩B=∅，
①当B=∅，即a≥0时，满足B⊆∁_RA；
②当B≠∅，即a＜0时，B={x|-

-a

＜x＜

-a

}，
要使B⊆∁_RA，需

-a

≤

1

2

，解得-

1

4

≤a＜0，
综上可得，实数a的取值范围是a≥-

1

4

．

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．