Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，E为A₁D的中点．
（1）试在线段CD上找一点F，使EF∥平面A₁BC，并说明理由；
（2）求证：CD⊥平面A₁ACC₁，并求四棱锥D-A₁ACC₁的体积．

Answer 1

解：（1）取CD的中点F，连接EF，则EF是△DA₁C的中位线，∴EF∥A₁C．∵A₁C?面A₁BC，
EF在面A₁BC 外，∴EF∥平面A₁BC．
（2）∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，∴AC=CD=，
由勾股定理得 AC⊥CD．再由AA₁垂直于底面得，AA₁⊥CD．而AC和AA₁是平面A₁ACC₁内的两条相交直线，
∴CD⊥平面A₁ACC₁．
矩形A₁ACC₁的面积等于 AA₁×AC=2×=2，四棱锥D-A₁ACC₁的高 CD=，
四棱锥D-A₁ACC₁的体积为AA₁×AC×CD=．
分析：（1）取CD的中点F，则EF是△DA₁C的中位线，得到 EF∥A₁C，从而证得 EF∥平面A₁BC．
（2）由勾股定理证得 AC⊥CD，再由AA₁垂直于底面得，AA₁⊥CD，从而证得CD⊥平面A₁ACC₁，求出矩形A₁ACC₁的面积，四棱锥D-A₁ACC₁的高 CD，代入四棱锥D-A₁ACC₁的体积公式进行运算．
点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，体现了数形结合的数学思想，证明CD⊥平面A₁ACC₁，是解题的难点．