Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁，AC=

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BC，点D是AB的中点．
（1）证明：AC₁∥平面B₁CD；
（2）证明：B₁C⊥平面ABC₁；
（3）证明：平面ABC₁⊥平面B₁CD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设BC₁与B₁C相交于点E，连接DE．由三角形的中位线定理可得DE∥AC₁．利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由菱形的性质可得B₁C⊥BC₁，由线面垂直的判定和性质定理可得AB⊥B₁C，于是得到B₁C⊥平面ABC₁；
（3）利用面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．

解答： 证明：（1）设B₁C，BC₁交于点M，连结MD．…（1分）
∵四边形BCC₁B₁为平行四边形，
∴点M为BC₁的中点．…（2分）
在△ABC₁中，点D，M分别是AB，BC₁的中点，
∴DM∥AC₁．…（4分）
又∵DM?面B₁CD，AC₁?面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（5分）
（2）∵AB=BC，AC=

2

BC，
∴AC²=BC²+AB²，∴AB⊥BC．…（6分）
∵AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴BB₁⊥AB…（7分），
又∵BB₁∩BC=点B，BB₁、BC?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁…（8分）．
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C．…（9分）
在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（10分），
又∵AB∩BC₁=点B，AB、BC₁?平面ABC₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁．…（11分）
（3）又∵B₁C?平面B₁CD，
∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．…（14分）

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、菱形的性质、线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理是解题的关键．本题主要考查空间点线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力．