Question

16．已知f（x）是偶函数，且f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），当-$\frac{1}{2}$≤x≤0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，记a_n=f（$\frac{n+1}{2}$），n∈N⁺，则a₂₀₄₆的值为（　　）

• A． 1-$\sqrt{2}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$-1

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和对称性求出函数是周期为1的周期函数，根据数列和函数的关系，结合函数的周期性进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），
∴f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）=f（x-$\frac{1}{2}$），
即f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为1的周期函数，
则a₂₀₄₆=f（$\frac{2046+1}{2}$）=f（1023+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
∵当-$\frac{1}{2}$≤x≤0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$-1=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1，
故a₂₀₄₆=f（-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
故选：C

点评 本题主要考查函数与数列的综合应用，根据条件求出函数f（x）是周期函数，以及利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．