Question

11．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与x轴、y轴的正半轴相交于A、B，过椭圆上一点P作x轴的垂线，垂足恰为左焦点F₁，OP∥AB．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）线段PB的垂直平分线与y轴相交于C，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OB}$，求λ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，设P（-c，y₀）（c是椭圆的半焦距），代入椭圆方程得${y_0}=\frac{b^2}{a}$．由OP∥AB，得$\frac{y_0}{c}=\frac{b}{a}$，代入化简，再利用a²=b²+c²及其离心率计算公式夹角得出．
（II）利用向量的坐标运算性质可得C，再利用线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意，设P（-c，y₀）（c是椭圆的半焦距），
代入椭圆方程$\frac{c^2}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，得${y_0}=\frac{b^2}{a}$（负值舍去），
由OP∥AB，得$\frac{y_0}{c}=\frac{b}{a}$，代入化简得b=c，
∴$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}=\sqrt{2}c$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OB}$得C（0，λb），
由|PC|=|BC|，得${c^2}+{（{y_0}-λb）^2}={（λ-1）^2}{b^2}$，
由（Ⅰ）得${y_0}=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，从而${b^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-λ）^2}{b^2}={（λ-1）^2}{b^2}$，即$1+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}-λ）^2}={（λ-1）^2}$，
解得，$λ=-\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率的关系、向量的坐标运算性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．