题目内容
8．已知P为三角形△ABC所在平面上一点，满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$，则P点是△ABC的垂心（填：“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”）．分析 根据条件即可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BA}=0$，这样即可由向量垂直的充要条件得出PA⊥BC，PB⊥CA，PC⊥BA，从而得出点P为垂心．
解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$得，$\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=0$；
∴PB⊥CA；
同理，PC⊥BA，PA⊥BC；
如图所示，点P为△ABC三边的高线交点；
∴P为三角形ABC的垂心．
故答案为：垂心．
点评 考查向量的数量积运算，向量减法的几何意义，以及向量垂直的充要条件，三角形垂心的定义．
练习册系列答案
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16．已知f（x）是偶函数，且f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），当-$\frac{1}{2}$≤x≤0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）x-1，记an=f（$\frac{n+1}{2}$），n∈N+，则a2046的值为（ ）
| A． | 1-$\sqrt{2}$ | B． | 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\sqrt{2}$-1 | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$-1 |
17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为$\frac{a}{2}$，则当$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$取得最大值时，内角A=（ ）
| A． | $\frac{2π}{3}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{4}$ |
