Question

定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-（2b-1）x+

b

4

．
（1）b=2时，求函数的最值；
（2）若函数f（x）是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b=5时，判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）b=2时，函数f（x）=(x-

3

2

)2-

7

4

，再由x∈[1，4]，利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．
（2）由题意可得

2b-1

2

≤1，或

2b-1

2

≥4，求得b的范围．
（3）由条件利用二次函数的性质可得函数f（x）在[1，4]上是减函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．

解答： 解：（1）b=2时，函数f（x）=x²-3x+

1

2

=(x-

3

2

)2-

7

4

，再由x∈[1，4]，
可得当x=

3

2

时，函数取得最小值为-

7

4

，当x=4时，函数取得最大值为

9

2

，
故答案为：[-

7

4

，

9

2

]．
（2）若函数f（x）在[1，4]上是单调函数，且图象的对称轴方程为x=

2b-1

2

，
则有

2b-1

2

≤1，或

2b-1

2

≥4，
求得b≤

3

2

，或b≥

9

2

．
（3）∵b=5时，函数f（x）=x²-9x+

5

4

，它的图象的对称轴方程为x=

9

2

＞4，
故函数f（x）在[1，4]上是减函数．
证明：设1≤x₁＜x₂≤4，则f（x₁）-f（x₂）=x12-x22+9x₂-9x₁=（x₁-x₂）（x₁+x₂-9），
由题设1≤x₁＜x₂≤4可得（x₁-x₂）＜0，（x₁+x₂-9）＜0，∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-9）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在[1，4]上是减函数．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的单调性的定义，属于基础题．