Question

已知f（n）=cos

nπ

3

（n∈N^*），求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,三角函数的周期性及其求法

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：将n=1，2，3，4，5，…，2014分别代入f（n），归纳总结得到一般性规律，求出原式值即可．

解答： 解：当n=1时，f（1）=cos

π

3

=

1

2

；
当n=2时，f（2）=cos

2π

3

=-

1

2

；
当n=3时，f（3）=cosπ=-1；
当n=4时，f（4）=cos

4π

3

=-

1

2

；
当n=5时，f（5）=cos

5π

3

=cos（2π-

π

3

）=

1

2

；
当n=6时，f（6）=cos2π=1；
当n=7时，f（7）=cos

7π

3

=cos

π

3

=

1

2

；
当n=8时，f（8）=cos

8π

3

=-

1

2

；
…，
以此类推，其值以

1

2

，-

1

2

，-1，-

1

2

，

1

2

，1循环，且之和为0，是以6个连续的正整数的函数值为一个周期的数列．
∵2014÷6=334，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）+（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）+…+（

1

2

-

1

2

-1-

1

2

+

1

2

+1）=0．
故答案为：0．

点评：此题考查了三角函数的周期，数列求和，运用诱导公式化简求值，熟练掌握函数的周期是解本题的关键．