Question

已知函数f(x)＝2cos²x―sin(2x―).

（1）求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；

（2）已知△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若f(A)＝, b＋c＝2，求实数a的最小值。

Answer 1

（1）f(x)=2cos²x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)

=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1                  …………(3分)

所以函数f(x)的最大值为2.                             …………(4分)

此时sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz)   解得x=kπ+(kz)

故x的取值集合为{x| x=kπ+，kz}                   …………(6分)

（2）由题意f(A)=sin(2A+)+1=,化简得sin(2A+)=，

∵A（0，π）,  2A+(,).  A=         …………(8分)

在三角形ＡＢＣ中，根据余弦定理，

得a²＝b²＋c²－2bc·cos=（b+c)²-3bc                   …………(10分)

由b+c=2 知bc()²=1, 即a²1 

当b=c=1时,实数a的最小值为1.                       …………(12分)