Question

17．已知二次函数y=f（x）的最小值为3，且f（-1）=f（3）=11．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数g（x）=e^x-f（x）（其中e=2.71828…），那么g（x）在区间（1，2）上是否存在零点？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数图象开口朝上，且顶点坐标为（1，3），设出函数的顶点式，将f（3）=11代入可得函数f（x）的解析式．
（2）若函数g（x）=e^x-f（x），则g（1）•g（2）＜0，由函数零点判断定理可得答案．

解答 解：（1）∵f（-1）=f（3）=11．函数y=f（x）的最小值为3，
故函数图象开口朝上，且顶点坐标为（1，3），
设f（x）=a（x-1）²+3，
则f（3）=4a+3=11．
解得：a=2，
∴f（x）=2（x-1）²+3=2x²-4x+5；
（2）∵g（1）=e-f（1）=e-3＜0，
g（2）=e²-f（2）=e²-5＞0，
∴g（1）•g（2）＜0，
∴g（x）在区间（1，2）上存在零点．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．