Question

设数列{a_n}的各项为正数，前n项和为S_n，且2

Sn

=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

1

an + an+1

，若b₁+b₂+…+b_n＞1，求正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用公式法可得a_n+1-a_n=2，数列{a_n}是等差数列，即可写出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

1

an + an+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．利用裂项相消法求数列和，即可解得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，平方得4s_n=(an+1)2，∴4s_n+1=(an+1+1)2．
两式相减得4a_n+1=(an+1+1)2-(an+1)2，整理得(an+1-1)2-(an+1)2=0，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
又∵当n=1时，2

a1

=a₁+1，(

a1

-1)2=0，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵b_n=

1

an + an+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

=

1

2

（

2n+1

-1），
∴

1

2

（

2n+1

-1）＞1，解得n＞4，
∴正整数n的最小值为5．

点评：本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和等知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．