Question

已知数列是首项为，公比的等比数列.设，，数列满足；
（Ⅰ）求证：数列成等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

试题分析：(Ⅰ) 本小题首先数列是首项为，公比的等比数列求得数列的通项公式，再代入即可求得数列的通项公式，然后根据等差数列的定义来判断其为等差数列；
(Ⅱ) 本小题首先求得数列的通项公式，分析可知对其求和需用错位相减求和的方法，于是求得该数列的前项和；
（Ⅲ）本小题首先分析对一切正整数恒成立，等价于，于是就分析数列的单调性，求得其的最大项，代入解不等式即可.
试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，


为等差数列，其中.                       5分
（Ⅱ）
      ①         
 ②
-②得



                               9分
（Ⅲ）


当时，，当时，
，
若对一切正整数恒成立，则即可
，即或.                   14分