Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）求直线SO与平面ASC所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，由此能证明SO⊥平面ABC．
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线SO与平面ASC所成角的正切值．

解答： （1）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA，
连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，∴SO⊥BC，且SO=

2

2

SA，
从而OA²+SO²=SA²，
∴△SOA为直角三角形，∴SO⊥AO，
又AO∉BO=O，
∴SO⊥平面ABC．
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz，
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），O（0，0，0），

SO

=（0，0，-1），

AC

=（-1，-1，0），

AS

=（0，-1，1），
设平面ASC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =-x-y=0 n •• AS =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
设直线SO与平面ASC所成角为θ，
sinθ=|cos＜

SO

，

n

＞|=|

SO • n

| SO |•| n |

|=|

1

3

|=

3

3

，
cosθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴直线SO与平面ASC所成角的正切值tanθ=

2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．