Question

已知F₁，F₂是双曲线x²-5y²=5的两焦点，点P在双曲线上，且△F₁PF₂的面积为

3

，则∠F₁PF₂的大小为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义、三角形的面积、余弦定理建立方程，即可得出结论．

解答： 解：双曲线x²-5y²=5可化为：

x2

5

-y²=1，
则a=

5

，b=1，c=

6

，
设∠F₁PF₂=α，|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，则m-n=2

5

①，
∵△F₁PF₂的面积为

3

，
∴

1

2

mnsinα=

3

②，
又∵24=m²+n²-2mncosα③，
由①②③，由配方消去m，n，可得

1-cosα

sinα

=

3

3

，
即

2sin2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=

3

3

，即有tan

α

2

=

3

3

，
可得α=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、三角形面积的计算．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．