Question

以下命题：
①已知函数f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

为幂函数，则a=-1；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影为

1

5

；
③函数f（x）=x²-2^x的零点有2个；
④若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为

1

sin21

．
所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①已知函数f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

为幂函数，则

a2-a-1=1 a≠2

，解得即可；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影为

a • b

| b |

；
③当x＞0时，f（2）=f（4）=0，当x≤0时，利用f（0）f（-1）＜0，因此次函数在区间（-1，0）内有一个零点，即可判断出；
④若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的半径r=

1

sin1

，其面积=

1

2

×α•r2即可得出．

解答： 解：①已知函数f（x）=（a²-a-1）x

1

a-2

为幂函数，则

a2-a-1=1 a≠2

，解得a=-1，因此正确；
②向量

a

=（-1，1）在向量

b

=（3，4）方向上的投影为

a • b

| b |

=

-3+4

32+42

=

1

5

，因此正确；
③当x＞0时，f（2）=f（4）=0，当x≤0时，∵f（0）f（-1）＜0，因此次函数在区间（-1，0）内有一个零点，故函数f（x）=x²-2^x的零点有2个不正确；
④若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的半径r=

1

sin1

，其面积=

1

2

×α•r2=

1

2

×2×(

1

sin1

)2=

1

sin21

，因此正确．
所有真命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题综合考查了幂函数的定义、向量的投影、函数零点的个数、扇形的弧长公式及其面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．