Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，用[x]表示不超过x的最大整数，则[b₁+b₂+…+b₈]的值为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 数列{a_n}是增数列，且 a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，从而 b₁+b₂+…+b₈=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{8}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，由此能求出[b₁+b₂+…+b₈]

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴数列{a_n}是增数列，且 $\frac{1}{{a}_{n}}$＞0，
∵a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，从而 b₁+b₂+…+b₈=$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{8}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
a₁=1，a₂=2，a₃=6，＞1，
∴b₁+b₂+…+b₈∈（0，1），
∴[b₁+b₂+…+b₈]=0．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法及应用，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．