Question

4．已知命题p：对于任意非零实数x，不等式m＜$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$恒成立；命题q：函数f（x）=x²-2mx在区间（2，+∞）上是增函数，若命题p和命题q有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． [1，2]
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质，结合不等式恒成立求出命题q成立的等价条件，以及命题q成立的等价条件，结合复合命题真假关系进行讨论即可．

解答 解：$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$-1=2-1=1，
若不等式m＜$\frac{{x}^{4}-x^2+1}{{x}^{2}}$恒成立，则m＜1，
即p：m＜1，￢p：m≥1，
函数f（x）=x²-2mx在区间（2，+∞）上是增函数，则对称轴x=$-\frac{-2m}{2}$=m≤2，
即q：m≤2，￢p：m＞2，
若命题p和命题q有且只有一个真命题，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞2}\end{array}\right.$，此时无解，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}\right.$，此时1≤m≤2，
即实数m的取值范围是[1，2]，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断以及复合命题真假关系的应用，求出命题的等价的条件是解决本题的关键．