Question

14．已知正四面体ABCD的棱长为$\sqrt{2}$，则其外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$π
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$π
• D． 3π

Answer 1

分析 抓住正四面体的特征，底面是正三角形，边长为$\sqrt{2}$，高线的投影在底面正三角形的重心上．外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，求出R，即可求球的体积．

解答 解：
由题意：ABCD是正四面体，底面是正三角形，边长为$\sqrt{2}$，高线的投影在底面正三角形的重心上，则有BE=2EF；设AO=OB=R．
∵BCD是正三角形，边长为$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}=\sqrt{2-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
0E=AE-R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-R$
∵△BEO是直角三角形，
∴R²=OE²+BE²，即${R}^{2}=（\frac{2\sqrt{3}}{3}-R）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}$．
解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
故选：C．

点评 本题考查正四面体的特征以及球的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．是中档题．