Question

15．已知函数f（x）=e^x（x-ae^x）恰有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）=0由两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=e^x（x-ae^x），
∴f′（x）=（x+1-2a•e^x）e^x，
由于函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的两不等实根，
即方程x+1-2ae^x=0，且a≠0，
∴$\frac{x+1}{2a}$=e^x；
设y₁=$\frac{x+1}{2a}$（a≠0），y₂=e^x，
在同一坐标系内画出这两个函数的图象，
如图所示：

要使这两个函数有2个不同的交点，应满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}＞0}\\{\frac{1}{2a}＞1}\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值的应用，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目，属于中档题．