Question

判断并证明f（x）=

3

x+1

在区间（-1，+∞）上的单调性，并求出f（x）在[0，5]的最值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题先利用函数的单调性定义证明函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数在区间上的最值，得到本题结论．

解答： 解：f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，证明如下：
令-1＜x₁＜x₂，则
 f(x1)-f(x2)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

．
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
∴

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0⇒f(x1)-f(x2)＞0．
即  f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)=

3

x+1

在区间（-1，+∞）上单调递减．
易知f（x）在[0，5]上单调递减，
∵0≤x≤5，
∴f（5）≤f（x）≤f（0）．
当x=0时，f（x）有最大值f（0）=3，
当x=5时，f（x）有最小值f(5)=

1

2

．

点评：本题考查了函数的单调性和最值，本题难度不大，属于基础题．