Question

2．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²，方程f²（x）+tf（x）+1=0有四个实数根，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• B． （-$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，得出f（x）=m的根的分别情况，从而得出关于m的方程的根的分别区间，列不等式解出t．

解答 解：f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
∴当x＜0或x＞1时f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，f（x）取得极大值f（0）=0，当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=-$\frac{1}{2}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

设f（x）=m，由图象可知：
当m＜-$\frac{1}{2}$或m＞0时，方程f（x）=m只有1解，
当m=-$\frac{1}{2}$或m=0时，方程f（x）=m有2解，
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，方程f（x）=m有3解，
∵程f²（x）+tf（x）+1=0有四个实数根，
∴关于m的方程m²+tm+1=0在（-∞，-$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{2}$，0）上各有1个零点．
∴$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$t+1＜0，
解得：t＞$\frac{5}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了方程根与函数图象的关系，函数的单调性判断与极值计算，属于中档题．