Question

1．设点P为有公共焦点F₁、F₂的椭圆M和双曲线Γ的一个交点，$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{4}{5}$，椭圆M的离心率为e₁，双曲线Γ的离心率为e₂．若e₂=2e₁，则e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．

Answer 1

分析 由椭圆及双曲线的定义可知m+n=2a₁，m-n=2a₂．利用余弦定理，求得10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$，将e₂=2e₁，即可求得e₁．

解答 解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a₁，a₂，半焦距为c．e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨设m＞n，
则m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴m²+n²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$，mn=${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$
4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴4c²=2${a}_{1}^{2}$+2${a}_{2}^{2}$-2（${a}_{1}^{2}$-${a}_{2}^{2}$）×$\frac{4}{5}$．
整理得：10c²=${a}_{1}^{2}$+9${a}_{2}^{2}$，
∴10=$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}$+$\frac{9}{{e}_{2}^{2}}$，又e₂=2e₁，
∴40${e}_{1}^{2}$=13，e₁∈（0，1）．
解得：e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．
∴椭圆的离心率e₁=$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{130}}}{20}$．

点评 本题考查双曲线及椭圆的离心率公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．