Question

已知等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）若{b_n}是首项为4，公比为

1

2

的等比数列，前n项和为T_n，求证：当t＞6时，对任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题设条件，利用等差数列通项公式求出公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n．
（2）由已知条件，利用等比数列前n项和公式求出T_n，分别求出T_n的最小值和S_n的最大值，由此能够证明当t＞6时，对任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．

解答： （本题满分14分）
解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
∴3a₇=-6，解得a₇=-2，
∵a₇=a₁+6（-1）=-2，解得a₁=4，（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=5-n，（5分）
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(9-n)

2

．（7分）
（2）∵{b_n}是首项为4，公比为

1

2

的等比数列，前n项和为T_n，
∴T_n=

4[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=8[（1-（

1

2

）ⁿ]，T_m≥T₁=4，（9分）
又∵Sn=

n(9-n)

2

=-

1

2

（n²-9n）=-

1

2

[（n-

9

2

）²-

81

4

]，
∴（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
当t＞6时，对任意m，n∈N^*，T_m+t＞T₁+6＞10≥S_n，
∴当t＞6时，对任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n和的应用，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．