Question

已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x，q（x）=2^x．
（1）设m（x）=q（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x）．当x＞1时，试比较m（x）与n（x）的大小（只需写出结果）；
（2）设P是函数g（x）的图象在第一象限内的一个动点，过点P分别作平行于x轴、y轴的直线与函数q（x）和f（x）的图象分别交于A点、B点，求证：|PA|=|PB|；
（3）设函数F（x）=f（|x-1|）+f（|x+2|），求函数F（x）在区间[-1，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）=log₂x，g（x）=x，q（x）=2^x．m（x）=q（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x）．可得当x＞1时，m（x）＞n（x）；
（2）根据P是函数g（x）的图象在第一象限内的一个动点，可设P点坐标为（t，t），进而求出A，B两点的坐标，及|PA|，|PB|，可得结论；
（3）F（x）=log₂|（x+

1

2

）²-

9

4

|，其中x∈[-1，0]，结合对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，可得函数的最值．

解答： 解：（1）当x＞1时，m（x）＞n（x）；
（2）∵P是函数g（x）的图象在第一象限内的一个动点，
∴设P点坐标为（t，t），
由t=2^x．得：x=log₂t，
∴A点坐标为（log₂t，t），
由log₂t=y，得B点坐标为（t，log₂t）
∵|PA|=|t-log₂t|，|PB|=|t-log₂t|，
∴|PA|=|PB|．…（7分）
（3）F（x）=f（|x-1|）+f（|x+2|）=log₂|x-1|+log₂|x+2|=log₂|（x+

1

2

）²-

9

4

|，其中x∈[-1，0]．
∴当x=-

1

2

时，f（x）_max=2log₂3-2，
当x=-1或0时，f（x）_min=1．…（12分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，是图象和性质的综合考查，难度中档．