Question

4．已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是（　　）

• A． （3，7）
• B． （9，25）
• C． （13，49）
• D． （9，49）

Answer 1

分析 由函数y=f（x）为奇函数，f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有关知识可求．

解答 解：∵函数y=f（x）为奇函数，定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴f（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示区域内的点和原点的距离．
由下图可知：d的最小值是OA=$\sqrt{13}$，
OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x²+y²的范围为（13，49）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．