Question

如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．
（1）求证：AC⊥FB
（2）求二面角E-FB-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，从而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能证明AC⊥FB．
（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-FB-C的大小．

解答： 解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，
∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…（2分）
∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC
由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…（4分）
又∵四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4
∴AC=2

2

，BC=2

2

，则有AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC
由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（6分）
（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，
故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，…（7分）
可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），
E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），
由（1）知平面FCB的法向量为

AC

=(-2，2，0)，
∴

EF

=(0，2，0)，

FB

=(2，2，-2)，…（8分）
设平面EFB的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有：

n • EF =0 n • FB =0

⇒

2y=0 2x+2y-2z=0

⇒

y=0 x+y-z=0

令z=1则

n

=(1，0，1)，…（10分）
设二面角E-FB-C的大小为θ，
cosθ=

n • AC

| n |•| AC |

=

1×(-2)+2×0+0×1

2 •2 2

=-

1

2

，
∵θ∈(0，π)，∴θ=

π

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．