Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）的值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得：f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5）=-f（log₂5）．结合函数的周期性，根据题中的条件代入函数解析式可得答案．

解答 解：由题意可得：f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5），
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=-f（log₂5）．
又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（log₂5）=f（log₂5-2）=f（log₂$\frac{5}{4}$）．
因为0＜log₂$\frac{5}{4}$＜1，并且当x∈[0，1）时，f（x）=2^x-1，所以f（log₂5）=f（log₂$\frac{5}{4}$）=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，
所以 f（${log_{\frac{1}{2}}}$5）=f（-log₂5）=-$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查函数的有关性质，如奇偶性、周期性，以及对数的有关运算性质，此题属于基础题型．