已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F1.F2.离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.过F2的直线交椭圆E于A.B两点.且三角形ABF1的周长为8$\sqrt{2}$．(1)求椭圆E的方程,(2)是否存在直线l1:y=x+m与椭圆E交于不同的C.D两点.且过线段CD的中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过F₂的直线交椭圆E于A、B两点，且三角形ABF₁的周长为8$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在直线l₁：y=x+m与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F₂的直线l₂垂直于直线l₁？若有，求出m的值，若无，请分析说明理由．

分析（1）由已知结合椭圆定义求得a，再由离心率求得c，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M的坐标，再由两直线斜率的关系求得m值，由所求m值不满足判别式大于0，可得不存在直线l₁与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F₂的直线l₂垂直于直线l₁．

解答解：（1）依题意得：$|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|+|B{F}_{1}|+|B{F}_{2}|=2a+2a=4a=8\sqrt{2}$，得a=$2\sqrt{2}$．
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=2，∴b²=a²-c²=4．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${y}_{1}+{y}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$．

∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}，{y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{m}{3}$，
∴M（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
∵直线l₂垂直于直线l₁，∴${k}_{{l}_{2}}=\frac{\frac{m}{3}-0}{-\frac{2m}{3}-2}=-1$，得m=-6．
又∵直线l₁与椭圆E交于不同的C、D两点，
∴△=96-8m²＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
m=-6∉（-$2\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴不存在直线l₁与椭圆E交于不同的C、D两点，且过线段CD的中点M与F₂的直线l₂垂直于直线l₁．